Date:
czw., paź 30, 2025
Sterowanie SMC serwonapędem z ograniczeniem na zmienne stanu
Wstęp
Sterowanie ślizgowe, lub sterowanie reżimem ślizgowym (ang. Sliding Mode Control, w skrócie SMC ) jest typemsterowania o zmiennej strukturze.
Pierwsze prace dotyczące sliding mode control datują się na lata 70 [12]. Odtego czasu zagadnienie sterowania ślizgowego było tema-tyką wielu artykułów oraz książek zob. np. [13]. W trak-cie pracy takiego układu, w zależności od tego w jakimmiejscu rzestrzeni stanu znajduje się system, wybieranajest odpowiednia struktura sterująca. Sterowanie ślizgowe może być stosowane do bardzo szerokiej klasy ukła-dów dynamicznych takich jak układy liniowe, nieliniowe,układy o niepewnych parametrach.
Odpowiednio projektując płaszczyzny ślizgowe można zapewnić oprócz osiągnięcia zadanego celu sterowania, także inne dodatkowewarunki np. ograniczenie na amplitudę sygnału sterowania lub zmiennych stanu. W pracy przedstawiono projektukładu sterowania SMC serwomechanizmem prądu sta-łego w którym można ograniczyć amplitudę sygnału sterowania u(t) oraz prędkość obrotową ω(t) do zadanych wartości.
Sterowanie ślizgowe
Rozważmy liniowy system dynamiczny opisany układem równań różniczkowych:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)(1)
y(t) = Cx(t)(2)
O systemie zakładamy, że jest sterowalny [8, s. 69]. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że zadanie sterowania polega na stabilizacji systemu dynamicznego w punkcie x= [0 0]T.
Projektując układ sterowania SMC należy odpowiednio zdefiniować płaszczyznę ślizgową. Płaszczyzna ślizgowa (lub bardziej ogólnie hiperpłaszczyzna) jest zbiorem punktów przestrzeni stanów układu dla których zachodzi:
S={x:σ(x)=0}(3)
Układ sterowania SMC powinien najpierw sprowadzić układ na powierzchnię płaszczyzny ślizgowej (σ6= 0) a następnie ”utrzymać” go na tej powierzchni aż do osiągnięcia zadanego celu sterowania (wtedy σ= 0).
Warunkiem osiągalności płaszczyzny ślizgowej a w konsekwencji istnienia sterowania SMC jest spełnienie zależności [9, s. 32]:
σT˙σ < 0(4)
W przypadku kiedy sterowanie u(t)jest funkcją skalarną z warunku tego otrzymujemy:
•dla σ > 0sterowanie u(t)powinno zapewnić ˙σ < 0
•dla σ < 0sterowanie u(t)powinno zapewnić ˙σ > 0.
Sterowanie u(t)ma wpływ na wartość i znak ˙σponieważ: σ=dσ dt=∂σ
∂x˙
x(t) = ∂σ
∂x(Ax(t) + Bu(t)) (5)
Jednym z niepożądanych efektów stosowania sterowania SMC jest możliwość wystąpienia przełączeń sygnału sterowania u(t) o bardzo dużej częstotliwości w bliskiej okolicy płaszczyzny przełączania σ, tak zwane zjawisko chatteringu. Zjawisko to jest bardzo szkodliwe w praktycznych układach sterowania i dlatego dąży się do jego wyeliminowania, zob. np. [2], [3], [14], [11
SMC bez ograniczeń na zmienne stany
Zadanie sterowania polega na obrocie wału serwomechanizmu o zadany kąt αREF i zatrzymaniu się w tej pozycji. Sygnał sterowania u(t)jest ograniczony do wartości z przedziału [−1,1]. Zadanie to może zostać przeformułowane do zdania stabilizacji układu w punkcie przestrzeni stanów x= [0 0]Tdlatego można przyjąć C= [1 1].
Przykład
Na wykresach zamieszczonych na rysunku (2) dlawiększych wartości parametru λ można zaobserwować wystąpienie dużej ilości przełączeń sygnału sterowania u(t). Jedną z przyczyn występowania tego zjawiskajest występowanie w układzie rzeczywistym serwomechanizmu opóźnień, niedokładność modelu dynamicznego oraz zastosowanie funkcji sgn która jest funkcją niecią-głą w punkcie 0 [9, s. 31], [13, s. 328-329].
6. Wnioski
W artykule zawarto opis układu sterowania znanego wliteraturze pod nazwą sliding mode control. Przedstawiono krótką charakterystykę tego typu układów sterowania,wskazano na problemy występujące w tego typu układach (zjawisko chattering-) a także opisano jeden ze sposobów wyeliminowania tego typu zjawisk poprzez modyfikację funkcji przełączającej σzob. wzór (6). Zaproponowano modyfikację układu sterowania która umoż-liwia wprowadzenie ograniczeń na zmienne stanu ukła-du (18), (20).