Antykruche systemy sterowania: Przypadek śledzenia trajektorii robotów mobilnych w warunkach niepewności i zmienności

Prace [6] i [7] stanowiły próbę ujęcia projektu sterowania w ramy sterowania geometrycznego i geometrii riemannowskiej. Umożliwiło to nam działanie w środowisku bez współrzędnych, bazując na osadzeniu rozmaitości w rozszerzonej przestrzeni dynamicznej, co pozwoliło na skonstruowanie praw sterowania, które były prostsze i odpowiednie dla rozmaitości z krzywizną. W niniejszej pracy przedstawiono konkretną metodę syntezy sterowania, konsolidując tę ​​metodologię i redukując szereg wcześniejszych założeń.

Innymi słowy, aby sterować ewolucją stanu układu zamkniętego do rozmaitości, tak aby wzdłużny xe, błąd poprzeczny ye i błąd kątowy φe były wewnętrznie wzajemnie sprzężone, prowadząc do zbieżności wszystkich trzech zmiennych, w naszej syntezie sterowania rozdzielamy dwie pętle sterowania wewnętrznego na rys. 3 (patrz ciemno zacieniowane pola oznaczone jako Sterowanie antykruche i Sterowanie PID), aby opisać konkretne kroki projektowania: 1) redundantną nadkompensację; 2) zmienność struktury; oraz 3) separację skal czasowych w celu izolacji niepewności.

W dalszej części powracamy do głównej idei rozdzielenia skali czasu, przedstawionej graficznie na rys. 4. Rozważmy bardziej ogólną formę modelu robota w równaniu (1), gdzie f, g są ciągłymi różniczkowalnymi funkcjami x, z, ε, t.
Skalar ε > 0 kwantyfikuje wszystkie małe parametry systemu (tj. Im, Iw itd.), które w ramach sterowania antykruchego określane są jako czynniki stresujące dla budowania zdolności. Ponadto, biorąc pod uwagę dwie małe stałe czasowe T1 i T2, możemy założyć, że T1 = ε i T2 = αε, gdzie α = T2/T1 jest znaną stałą. Teraz, jeśli ustawimy ε = 0 w równaniu (6), wymiar przestrzeni stanów systemu zmniejsza się z n+m do n, ponieważ drugie równanie degeneruje się do 0 = g(x, z, 0, t), gdzie z może szybko zbiegać do pierwiastka z g ze względu na swoją prędkość z˙ = g/ε,
co może być wysokie, jeśli ε jest małe.

Z bardziej intuicyjnej perspektywy, model w (6) jest techniką modelowania zredukowanego rzędu, która pozwala nam przekształcić uproszczenie (redukcję) dynamiki robota w zaburzenie parametrów, zwane „osobliwym”. Rozwiązania „wolnej” dynamiki x(t, ε) i „szybkiej” dynamiki z(t, ε) osobliwie zaburzonego układu w (6) składają się z szybkiej warstwy granicznej i wolnego stanu quasi-stacjonarnego, jak pokazano na rys. 4. Z perspektywy geometrii riemannowskiej sterowania antykruchego istnieje rozmaitość Mε zależna od ε, którą można zdefiniować w przestrzeni n + m x i z taką, że Mε : z = φ(x, ε). Zmniejsza to wymiar przestrzeni stanów, ograniczając ją do pozostania na Mε. Teraz wprowadzono jawną koncepcję i implementację redundantnej nadkompensacji i separacji skali czasowej. W tym celu dla każdego silnika prądu stałego wykorzystujemy regulator proporcjonalno-różniczkująco-całkujący (PID), aby uzyskać redundantną nadkompensację.

Następnie problem sformułowano w dziedzinie Laplace'a z częstotliwością zespoloną s, aby skoncentrować się na projekcie osobliwego zaburzenia. Później wrócimy do dziedziny czasu, aby opisać rzeczywistą separację skali czasowej. Funkcja przejścia regulatora PID wynosi u(s)/e(s) = Kp(1 + KDs + KI 1 s), gdzie błąd e(s) = w(s) − y(s).

Ponadto rozważamy model silnika prądu stałego z [9], gdzie w praktyce L jest małe i może służyć jako nasz parametr ε. Odpowiada to naszemu ogólnemu sformułowaniu w (6), jeśli ω = x, i = z i R ̸= 0. Redukcję modelu rozwiązuje się poprzez zignorowanie indukcyjności L i rozwiązanie równania −kω−Ri + u = 0 w celu uzyskania wartości prądu i = u−kω
R, którego następnie używamy do uzyskania modelu pierwszego rzędu silnika prądu stałego w postaci Jω˙ = − k 2 R ω + k R u.

Pozwala to na znalezienie rozmaitości Mε i ograniczenie dynamiki silnika prądu stałego, aby pozostała na niej. W naszym projekcie celem jest wyrażenie efektu całkowania regulatora PID, który jest znacznie wolniejszy niż składowe proporcjonalna i różniczkująca. Zaburzenie osobliwe
Teoria wspiera nas w zadaniu przepisania prawa sterowania u, biorąc pod uwagę fakt, że KP i KD zapewniają odpowiednio szybkość i stabilność układu, podczas gdy KI redukuje błąd e do zera.

Szybkie zmienne zwiększą zdolność reakcji antykruchej na niepewne zdarzenia w działaniu robota, takie jak poślizg kół, przebicie opony czy wygięcie wału siłownika silnika prądu stałego.

Dokładniej rzecz ujmując, wybór k1 i k2 musi zostać dokonany w taki sposób, aby w części PD sterownika silnika macierz układu była macierzą Hurwitza.

Aby podejść do adaptacyjnego sterowania z oddalaniem się horyzontu, rozważyliśmy sterowanie predykcyjne (MPC) jako odpowiedniego kandydata ze względu na jego możliwości predykcyjne, które dobrze kontrastują z możliwościami antycypacyjnymi kontrolera antykruchego. Dokładniej rzecz biorąc, nasz projekt opiera się na projekcie kontrolera z [25].

Proponowany kontroler wykorzystuje model dynamiczny robota jako model kontrolera, co zwiększa dokładność śledzenia, jednocześnie uwzględniając dynamiczną stabilność robota podczas procedury śledzenia. Dodatkowo, poprzez adaptacyjne podniesienie wagi funkcji kosztu, rozwiązuje się problem komfortu jazdy spowodowany użyciem typowego kontrolera MPC, gdy pojazd zbacza z zamierzonego toru.

Wreszcie, w celu przedstawienia odpornego projektu sterownika, rozważany jest sterownik z logiką rozmytą, ponieważ zapewnia on efektywne podejście do aproksymacji dowolnej gładkiej dynamiki nieliniowej w postaci reguł JEŻELI-TO. Konkretna implementacja w naszych eksperymentach opiera się na pracach [26].

W niniejszym badaniu zaproponowano metodę śledzenia trajektorii, która imituje zachowanie człowieka podczas jazdy, wykorzystując zestaw reguł logiki rozmytej. Szacunkowe informacje o następnym zakręcie przed robotem są przesyłane do systemu rozmytego, a odpowiadającym im wyjściem jest prędkość przelotowa wymagana, aby robot bezpiecznie podążał ścieżką w wyznaczonym czasie. Sterownik z logiką rozmytą jest określany jako RESILIENT w naszych badaniach, w których opracowano 4-regułowy system wnioskowania rozmytego Takagi-Sugeno-Kang.

Aby ocenić strategie sterowania i zademonstrować korzyści płynące z zastosowania konstrukcji antykruchej, opracowaliśmy systematyczne ramy analizy i oceny, które:

1) generują trajektorie odniesienia dla sterowania robotem w pętli zamkniętej,
2) wspierają wprowadzanie niepewności zdefiniowanej przez użytkownika, np. poślizgu kół, awarii siłownika lub awarii czujnika,
3) wspierają parametryzację (tj. czas trwania, amplitudę, częstotliwość) niepewności zdefiniowanej przez użytkownika,
4) porównują wydajność w przypadku wprowadzenia różnych typów niepewności i/lub usterek.

Rozważane regulatory są sparametryzowane w następujący sposób:

• Sterowanie ROBUST: oddzielone powierzchnie xe i φe w projekcie z trybem ślizgowym; parametryzacja sterowania PID;
• Sterowanie ADAPTIVE: MPC z funkcją kosztu opartą na błędzie położenia poprzecznego ye i błędzie kursu φe;
• Sterowanie RESILIENT: regulator 2-wejściowy (de i |φe|), 2-wyjściowy (vl, vr); 4 reguły IF-THEN;
• Sterowanie ANTYKRUCHE: łączone błędy xe, ye i rozdzielone powierzchnie φe w projekcie komponentów o zmiennej strukturze; sterowanie PID z osobliwym zaburzeniem.

Wszystkie eksperymenty, analizy i dodatkowe eksperymenty nieomówione w tym artykule można odtworzyć za pośrednictwem bazy kodu dostępnej na GitHubie.

System wstrzykiwania błędów i niepewności opiera się na pracach [22]. Zasadniczo, oszacowanie stanu robota w obecności niepewności i błędów jest uzyskiwane poprzez uwzględnienie zmieniającej się dynamiki robota w zależności od rodzaju niepewności i błędu. Osiąga się to poprzez modelowanie niepewności i błędów za pomocą zestawu filtrów Kalmana.

Innymi słowy, wykorzystujemy zdolność filtru Kalmana do minimalizacji kowariancji szacowanego błędu w określonych warunkach, implementując w ten sposób optymalny estymator za pomocą szeregu równań predykcji i korekcji. Mówiąc dokładniej, w naszych testach każdy filtr Kalmana odzwierciedla model kinematyczny robota, ale z odrębnym zestawem parametrów (tj. reprezentujących różne typy defektów lub niepewności).

Główną ideą tego frameworka jest to, że dla tego samego wektora wejściowego (z szumem) każdy filtr oblicza predykcję wektora stanu robota. Każdy filtr jest powiązany z pewną formą niepewności lub błędu.

W związku z tym bierzemy pod uwagę

1) filtr nominalny, który odpowiada bezbłędnemu działaniu robota;

2) filtr, który ma ten sam model kinematyczny robota, ale zmodyfikowane parametry, aby podkreślić błąd przebicia prawej opony (tj. promień prawego koła ma stopniowo mniejszą wartość);

3) filtr, który modeluje i przewiduje dynamikę błędu przebicia lewej opony;

4) filtr, który modeluje i przewiduje ugięcia wału siłownika prawego koła; oraz

5) filtr, który modeluje i przewiduje ugięcia wału siłownika lewego koła napędowego robota.

Oprócz oszacowania stanu, każdy filtr generuje oszacowanie wektora pomiarowego na etapie przewidywania, które jest wykorzystywane na etapie korekcji filtra.

Silnym elementem syntezy sterowania ANTFRAGILE jest element separacji skali czasu, odpowiedzialny za odporność sterowania aktuatorów niskiego poziomu. Wykorzystując osobliwą teorię zaburzeń, zaimplementowaliśmy separację skali czasu w regulatorze ANTFRAGILE w oparciu o analizę kształtów dynamicznych warstw granicznych (patrz rys. 4) oraz kształt zadanych wielkości ścieżki i krzywizny, podanych jako odniesienie dla aktuatorów.

Co ciekawe, udało nam się uzyskać separację reżimów sterowania w systemach antykruchych i kruchych wyłącznie na podstawie krzywizny jednorodnego kształtu rozwiązania układu zamkniętego, określonego wzorem 5. Ta separacja jest następnie wykorzystywana do obliczania sygnału sterującego aktuatora (tj. v(t) i w(t)), który przyjmuje postać dynamiki „szybkiej” lub „wolnej”. Podobne, a przynajmniej porównywalne zachowanie, osiągnięto w projekcie ROBUST poprzez sterowanie o zmiennej strukturze. Dokładniej rzecz ujmując, projekt regulatora niższego rzędu wykorzystujący sterowanie równoważne
(patrz 19) uwzględnia technikę zredukowanego rzędu analogiczną do efektu, jaki oferuje zaburzenie osobliwe.

Sterowanie ADAPTIVE próbuje dokonać separacji skali czasowej poprzez wybór wieloskalowej funkcji kosztu z członami regularyzującymi dla każdej wielkości skali czasowej (patrz 20). Jest to szczególnie widoczne w rozważanej przez nas instancji MPC, gdzie horyzont predykcji można ważyć oddzielnie dla dynamiki „szybkiej” i „wolnej”. Wreszcie, sterowanie RESILIENT może, w zasadzie, jawnie wywołać taką separację skali czasowej. W naszym przypadku można to osiągnąć za pomocą reguł wnioskowania rozmytego, które uwzględniają kowariancję pierwszej pochodnej członów błędu i tempo ich zmian w równaniu (21). Separacja skali czasowej jest elementem projektu, który określa sterowanie siłownikiem niskiego poziomu i korzyści płynące z syntezy prawa sterowania uwzględniającej krzywiznę (patrz rys. 4).

Ostatnim elementem projektu sterowania ANTIFRAGILE jest synteza sterowania o zmiennej strukturze. To podejście jest szeroko stosowane w dziedzinie projektowania sterowania odpornego na zakłócenia jako sposób na radzenie sobie z niepewnością, zarówno ustrukturyzowaną (tj. niepewność parametryczna), jak i nieustrukturyzowaną (tj. dynamika niemodelowana).

Jest to również wspólny element projektu dla regulatorów ROBUST i ANTIFRAGILE. Takie sterowanie kieruje system do rozmaitości opisującej określoną dynamikę układu zamkniętego i zapewnia, że ​​system w niej pozostanie. Jak wspomniano wcześniej, rozmaitość staje się miejscem i dynamiką, jak pokazano na rys. 5.

Intuicyjnie, generowany sygnał sterujący będzie miał charakter nieciągły, a stabilność jest silnym warunkiem wstępnym (patrz (14)–(17)). Wywołane zachowanie sterowania o zmiennej strukturze zarówno w kontrolerach ROBUST, jak i ANTIFRAGILE jest widoczne na rys. 6. Jest to jeszcze bardziej widoczne,
analizując wydajność w Tabeli 1.

Można tu zauważyć, że kontrolery ANTIFRAGILE i ROBUST przewyższają kontrolery ADAPTIVE i RESILIENT,
pod względem najniższego RMSE dla odchyleń podłużnych i poprzecznych, gdy uwzględniany jest jedynie scenariusz bezbłędny (bazowy). Ze względu na niejawne ważenie kursu w projekcie rozmaitości w kontrolerze ANTIFRAGILE, dominacja ulega zmianie w błędzie kursu, gdzie zajmuje on tylko trzecią pozycję (patrz (8)). Jest to dodatkowo podkreślone na rys. 8 i uzasadnione faktem, że w śledzeniu trajektorii kurs ma charakter drugorzędny.

Z kolei ogólna (euklidesowa) pozycja musi być jak najlepiej dopasowana do wyznaczonej trajektorii. Dzięki bazowemu modelowi sterowania predykcyjnego, sterowanie ADAPTIVE radzi sobie stosunkowo dobrze z odchyleniami RMSE w scenariuszach bezbłędnych, nawet lepiej niż sterowanie RESILIENT, które wyróżnia się minimalizacją błędów kursu. Rozważając scenariusze z niepewnością i błędami,
rozważyliśmy ocenę wydajności różnych algorytmów sterowania trajektorią pod wpływem 4 rodzajów błędów (tj. 2 usterek czujników – modelowanych jako przebite opony – i 2 usterek siłowników – modelowanych jako okresowe uderzenia wału silnika – kół napędowych robota), jak pokazano w tabeli 1.

Ogólnie rzecz biorąc, sterowanie ANTIFRAGILE przewyższa inne techniki sterowania, zapewniając minimalny RMSE dla wszystkich typów błędów, aczkolwiek z dość niewielkim marginesem w porównaniu z ROBUST. W bliskiej odległości sterowanie ROBUST przewyższa ANTIFRAGILE i inne techniki w minimalizacji błędów orientacji.

Sterowanie ADAPTIVE zbliża się do ROBUST z niewielką karą, która może zależeć od wyboru funkcji kosztu.

Wreszcie, wolniej zmieniająca się reakcja jest oferowana za pomocą sterowania RESILIENT (podobnego do hipotetycznej sytuacji na rys. 1), ale ze stabilnym wynikiem.

W naszym ostatnim i najbardziej ekstremalnym przykładzie uwzględniono kaskadowe błędy i niepewność w procesie śledzenia trajektorii przez robota (patrz rys. 10). Ogólne kryteria oceny wybrano na podstawie odchylenia euklidesowego od zadanej trajektorii. Jak widać, a także wsparte wcześniejszą dyskusją i analizą, eksperymenty przybliżają nas do weryfikacji hipotezy (wizualnie opisanej na rys. 1). Analiza na rys. 10 pokazuje, że sterowanie ANTIFRAGILE (czerwony ślad) oferuje najmniejsze odchylenie, z małymi obszarami (zazwyczaj przed wystąpieniem nowego błędu), gdzie błędy jeszcze bardziej się zmniejszają.

Tuż za nimi znajduje się odporne zachowanie kontrolera ROBUST, który wykazuje oscylacyjne prawo sterowania o wysokiej częstotliwości, powodujące oscylacje w poleceniach siłownika, a ostatecznie w trajektorii, ze względu na jego zmienną strukturę (patrz zielony ślad na rys. 10). Wykorzystując predykcyjne właściwości modelu bazowego i oddalający się horyzont, ADAPTIVE maksymalizuje korzyści płynące z MPC, zapewniając jednocześnie wysoką wydajność. Ostatecznie każdy wprowadzony defekt powoduje powolną reakcję kontrolera RESILIENT, zwiększając całkowitą niedokładność położenia.

Radzenie sobie z niepewnością w sterowaniu robotem w pętli zamkniętej jest wciąż przedmiotem otwartej dyskusji i owocnych badań. Aby zająć się syntezą sterowania w tym kontekście, przedstawiamy sterowanie ANTIFRAGILE, nowatorskie ramy projektowe, których celem jest uchwycenie unikalnych cech reakcji systemu na sterowanie. W obszarach przestrzeni rozwiązań, gdzie system jest nie tylko odporny na niepewność i zmienność, ale także zdolny do czerpania z nich korzyści i przewidywania przyszłych niepewnych zdarzeń, efekty pierwszego i drugiego rzędu oferują użyteczne wskazówki dotyczące tego, kiedy i jak wysyłać sygnały sterujące, które mogą sterować systemem.

To główny powód obecnych badań i sterowania ANTIFRAGILE. Udało nam się zweryfikować zarówno projekt sterownika dla zadania robotycznego, jak i ramy sterowania ANTIFRAGILE poprzez testy z parametryzowanymi błędami. Od tego zaczyna się opracowanie spójnej teorii i ram opartych na idei indukowanej antykruchości w systemach technicznych.

New text